Q3:

Because G is a finite set,

So we can say {g1,g2,g3...gn}=G

For each gi belongs to G, define a new set F={f1,f2,f3...fn}=G

S.T.

gi * g1 = f1

gi * g2 = f2

      :

      :

      :

gi * gn = fn

 

because * is an associative binary operation so * is a map G*G-->G

so f1, f2, ... fn  belongs to G

If fp = fq, fp,fq belongs to F

i.e. gi*gp = gi*gq

 ==> gp = gq by cancellation law.

so F=G

 

Stephen SMALE 解决4维以上广义庞加莱猜想获1966菲尔兹奖

Michael H. FREEDMAN 解决4维广义庞加莱猜想获1986菲尔兹奖

但本来的庞加莱猜想未解决。 Clay 数学所将其列为7个百万美元大奖问题之一
（http://www.claymath.org/millennium/）。　

Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个
Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein
意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不
过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar’e,
Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭
曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面
上可以有双曲几何。

三维以上就没有这么好运了，Thurston的天才创见就在于：提出了单值化定理
在三维情形的类比---Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。

Thurston 本人对 Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的
证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂
上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过
一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式
发表他的证明。他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发
表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。

Thurston 本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度
引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍
Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性，但像 Thurston 这样直
觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活
自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾
给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明，McMullen 以别的方法也给过
严格证明。同样的事情也发生在 Thurston 其余的几个重要定理上。直至今日，他那
些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。

需要指出，在几何化猜想之前，Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation
方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清
晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，
你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为 Thurston, Gromov 那
样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。

Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar’e 猜想，最近对 Poincar’e 猜
想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar’e
猜想。因为 Poincar’e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston
描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双
曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在
他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有 Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是
拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后，低
维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。

要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力
了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪
爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在中提出了 Ricci flow 的概念，
给几何化猜想带来一丝曙光。

怎么挑了个不大牌的杂志？

最主要的是对真正的里程碑式的原创性工作来说，发表的杂志倒是不重要的。优先权才重要。

如Drinfeld 关于量子群和杨振宁－Baxter方程的伟大工作发表在列宁格勒数学杂志上。

Kontsevich 、Hamilton 没有在四分顶级综合杂志上发过文章。

Annals of Mathematics (Princeton Univ)
Inventiones Mathematicae (Springer)
Journal of the American Mathematical Society (AMS)
Acta Mathematica (Institut Mittag-Leffler)

我个人猜测有下列原因。

１。抢时间和优先权。 现这是数学上最大的热点。许多人正在工作着。有竞争。这项工作
估计是朱熹平过去半年（Sep. 2005 - Mar. 2006) 受丘成桐（Shing-Tung Yau）之邀访问Harvard 大学期间作出的。

http://www.math.harvard.edu/people/ZhuXi-Ping.html

丘是 Asian J. of Mathematics 的主编且是 International Press 的老板，便于在较少
泄密情况下快速通过审稿。避大牌杂志的拒稿拖稿的风险。

２。　最主要的贡献仍是Hamilton和Perelman的。该项工作是补大漏洞。

G.Perelman 在 R. Hamilton 等工作的基础上，对完成整个庞加莱猜想作出了原创性突破（主要是在neckpinch singularity 和其它singularities)，

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf

但Perelman的工作存在着较大和较多的漏洞(gaps)。且其中确有一些错误（现已补好）。
　
其中一个最大的漏洞是如何能在“有限时间”内完成几何切割。其实过去每四年出现一次
的由几何拓扑家给出的错误证明都错在此。 G.Perelman 本人看样子是知道这些漏洞的，
因为

a. 他没有大声的宣布而是很小声的说（whispered）他解决了几何化猜想（包含庞加莱猜
想），且他选择在公布他的工作不久出来演讲，因其时大家还提不出实质性的问题，他从那
后不出来，并拒绝任何演讲邀请拒绝回答问题，现在大家都在等着问他问题。

还未看朱熹平，曹怀东的证明，估计是他们补全了Perelman的证明漏洞(gaps)，特别是
“有限时间内完成几何切割”。如是，本身将是较大的成就。

b. 他只在预印本网站公布了他的文章未投稿，所以他可以避免回答审稿人问题。

３。庞加莱猜想、Thurston几何化猜想拓扑分类的Ricci流证明将是丘成桐（Shing-Tung Yau）等创立的“几何分析”的最大成就之一。丘推从中华，许多外国人私下批评丘是一个强
烈的民族主义者，证据之一便是他的大多数学生都是中国人且强力推荐到重要位置。丘很upset和mad并着急的的是，他本人最早意识到Ricci流的重要性，（比如在Hamilton 创立 Ricci流之初（１９８２）令他的几个中国学生跟Hamilton学，向Hamilton建议引进几何切割来解决拓扑分类等），在 Hamilton１９９７关于几何切割的文章发表后，Hamilton方案的可行性已比较清楚了，但其后的关键性突破是由Perelman而不是由中国人作出的（而在该领域中国人是很强的），到手的鸭子飞了。

（他确实是在１９９７年说过解决问题时机已成熟并大力推动过相关研究。） 最近他每讲必讲Ricci流，急S了！

丘控制的数学杂志比较多，替曹、朱选择Asian Journal of Mathematics来登这篇终结文章恐怕也有出一口气的意思。